Question

【题目】已知二次函数在区间上有最大值4，最小值为0.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若对任意恒成立，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2﹣2x+1；（2）[33，+∞）

【解析】

（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式．

（2）求解g（x）的解析式，令，则，问题转化为当u∈[，8]时，恒成立，分离参数即可求解．

（1）f（x）＝mx2﹣2mx+n+1（m＞0）

其对称轴x＝1，x∈[0，3]上，

∴当x＝1时，f（x）取得最小值为﹣m+n+1＝0．

当x＝3时，f（x）取得最大值为3m+n+1＝4．

由①②解得：m＝1，n＝0

故得函数f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+1

（2）由g（x），令，则，

问题转化为当u∈[，8]时，恒成立，

即u2﹣4u+1﹣ku2≤0恒成立，

∴k．

设，则t∈[，8]

可得：1﹣4t+t2＝（t﹣2）2﹣3≤k．

当t＝8时，（1﹣4t+t2）max＝33

故得k的取值范围是[33，+∞）