Question

【题目】已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线的斜率为2．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）与圆相切的直线，与抛物线交于两点，若在抛物线上存在点，使，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题（1）设切点，可分别写出过两点的切线方程，再利用它们都过点，从而求p，即可求出抛物线的标准方程；

（2）由题意设直线，由题意可得，，可化为，由直线方程与抛物线联立可得，从而求b的取值范围，进而由韦达定理可得，从而求λ的取值范围．

试题解析：（1）设，

则点处抛物线的切线为，过点，因而；

同理，点处抛物线的切线为，过点，因而．

两式结合，说明直线过两点，也就是直线的方程为．

由已知直线的斜率为2，知，

故所求抛物线的方程为．

（2）显然当直线的斜率不存在与斜率为0时不合题意

故可设直线的方程为．

又直线与圆相切，

所以，即．

与抛物线方程联立，即，

化简消得，

设，则，

．

由，则，．

又点在抛物线上，则．

即，由于，因而．

所以的取值范围为