【题目】在平面四边形中(如图1),为的中点,,,且,,现将此平面四边形沿折起使二面角为直二面角,得到立体图形(如图2),又为平面内一点,并且为正方形,设,,分别为,,的中点.
(Ⅰ)求证:面面;
(Ⅱ)在线段上是否存在一点,使得面与面所成二面角的余弦值为?若存在,求线段的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)存在一点符合题意,线段
【解析】
(Ⅰ)由已知条件得、,从而,从而面,同理,面,由此能证明面面;(Ⅱ)根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系,求出面的一个法向量,设,求出面的法向量为,根据法向量与二面角之间的关系即可得结果.
(Ⅰ)∵点、、分别为、、的中点,
∴、分别为、的中位线,∴、,
又正方形中,,∴,
又面,面,
∴面,
同理,面,
又,面,面,∴面面.
(Ⅱ)∵二面角为直二面角,又,,∴,
如图建系,则有,,,,,
则,,
设面的法向量,
则,取,得,
设,,则,,
设面的法向量为,
则,
取,得,
由面与面所成二面角的余弦值为,得,
令,解得或,
令,解得;令,解得(舍去)
∴在线段上存在一点,此时,线段.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】空气质量指数(简称:)是定量描述空气质量状况的无量纲指数,空气质量按照大小分为六级:为优,为良,为轻度污染,为中度污染,为重度污染,为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数,根据图表,下列结论错误的是( )
A. 在北京这天的空气质量中,按平均数来考察,最后天的空气质量优于最前面天的空气质量 B. 在北京这天的空气质量中,有天达到污染程度
C. 在北京这天的空气质量中,12月29日空气质量最好 D. 在北京这天的空气质量中,达到空气质量优的天数有天
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,直线的斜率为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)与圆相切的直线,与抛物线交于两点,若在抛物线上存在点,使,求的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列满足:, . (其中为自然对数的底数,)
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)设,是否存在实数,使得对任意成立?若存在,求出的一个值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某粮油超市每月按出厂价30元/袋购进种大米,根据以往的统计数据,若零售价定为42元/袋,每月可销售320袋.现为了促销,经调查,若零售价每降低一元,则每月可多销售40袋.在每月的进货都销售完的前提下,零售价定为多少元/袋以及每月购进多少袋大米,超市可获得最大利润,并求出最大利润.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)已知点,点,直线过点且与曲线相交于,两点,设线段的中点为,求的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com