Question

【题目】已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若,存在,使得,求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2) .

【解析】

(1)根据的不同取值,结合绝对值的性质,分类讨论求出函数的单调区间；

(2) 求出二次函数的对称轴,根据对称轴和所给的区间的位置进行分类讨论,即可求出实数的取值范围．

(1)当时, ,因此函数在上单调递增,在上单调递减；

当时, ,

在区间上单调递增,在区间上单调递减；

当时, ,

在区间上单调递增,在区间上单调递减；

(2)二次函数的对称轴为：.

①当时,二次函数是单调减函数,因此有：

,

所以一元二次方程在区间上有两不等根,则有

；

②当时,二次函数是单调增函数,因此有：

,所以可以看成一元二次方程两根,则，有；

③当时, ,所以由

函数的最大值是中的一个值, .

①若时,有,此时,所以或

(i)若时,

(ii)若,由（舍）：

②若时,有,此时,

因此有,

根据

综上所述：实数的取值范围是.