Question

【题目】已知，满足，且的两实根之积为4．

（1）求的解析式；

（2）求函数，在上的最大值（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2-4x+4（2）g（x）max=

【解析】

（1）利用求得的对称轴，进而求得，利用根与系数关系求得，进而求得函数的解析式.

（2）首先化简的解析式，求得其对称轴为，根据对称轴和求解的位置关系对进行分类讨论，结合二次函数在闭区间上的值域的求法，求得在上最大值的表达式.

（1）根据题意，f（x）=x2+ax+b，满足f（-2）=f（6），则其对称轴x=2，

则a=-4，

又由f（x）=0的两实根之积为4，即x2+ax+b=0的两根之积为4，b=4，

则f（x）=x2-4x+4，

（2）由（1）的结论，f（x）=x2-4x+4，则g（x）=2mx-f（x）=-x2+（2m+4）x-4=-[x-（m+2）]2+m2+4m，

其对称轴为x=m+2，

分3种情况：

当m+2＜0，即m＜-2时，g（x）在[0，2]上为减函数，则g（x）max=g（0）=-4，

当0≤m+2≤2，即-2≤m≤0时，则g（x）max=g（m+2）=m2+4m，

当m+2＞2，即m＞0时，g（x）在[0，2]上为增函数，则g（x）max=g（2）=4m，

故g（x）max=．