Question

19．$\frac{1}{sin4{5}^{°}sin4{6}^{°}}$+$\frac{1}{sin4{6}^{°}sin4{7}^{°}}$+…+$\frac{1}{sin8{9}^{°}sin9{0}^{°}}$=$\frac{1}{sin1°}$．

Answer 1

分析 采裂项法法，$\frac{1}{sinn°•sin（n+1）°}$=$\frac{1}{sin1°}$（$\frac{1}{tann°}$-$\frac{1}{tan（n+1）°}$），问题得意解决．

解答 解：$\frac{1}{sinn°•sin（n+1）°}$=$\frac{1}{sin1°}$•$\frac{sin（（n+1）°-n°）}{sinn°sin（n+1）°}$
=$\frac{1}{sin°}$•$\frac{sin（n+1）°cosn°-cos（n+1）°sinn°}{sinn°sin（n+1）°}$
=$\frac{1}{sin1°}$•（$\frac{cosn°}{sinn°}$-$\frac{cos（n+1）°}{sin（n+1）°}$）
=$\frac{1}{sin1°}$（$\frac{1}{tann°}$-$\frac{1}{tan（n+1）°}$），
$\frac{1}{sin4{5}^{°}sin4{6}^{°}}$+$\frac{1}{sin4{6}^{°}sin4{7}^{°}}$+…+$\frac{1}{sin8{9}^{°}sin9{0}^{°}}$
=$\frac{1}{sin1°}$（$\frac{1}{tan45°}$-$\frac{1}{tan46°}$+$\frac{1}{tan46°}$-$\frac{1}{tan47°}$+…+$\frac{1}{tan89°}$-$\frac{cos90°}{sin90°}$）
=$\frac{1}{sin1°}$（1-0）
=$\frac{1}{sin1°}$．
故答案为：$\frac{1}{sin1°}$．

点评 本题考查了三角函数的化简和求值，关键是采取裂项，如何裂项是难点，属于中档题．