Question

（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）
（1）在极坐标系中，若过点（1，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=

2

3

（2）已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有实数解，则a的取值范围为

[-3，-1）

．

Answer 1

分析：（1）先求出直线方程，把曲线的极坐标方程化为普通方程，把 x=1 代入  （x-2）²+y²=4  可得 y=±

3

，故|AB|=±2

3

．
（2）由已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有解，分离出参数a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，转化为求函数的值域．

解答：解：（1）过点（1，0）且与极轴垂直的直线方程为 x=1，曲线ρ=4cosθ 即 ρ²=4ρcosθ，
即 x²+y²=4x，（x-2）²+y²=4．  把 x=1 代入  （x-2）²+y²=4  可得
y=±

3

，故|AB|=±2

3

，
故答案为：±2

3

．
（2）分离出参数a+1，
a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，
∵sinx|≤1，
∴a+1=|2^x-1|-|2^x+1|的最小值为：-2，最大值为0，
∴-3≤a≤-1．
则a的取值范围为[-3，-1）
故答案为：[-3，-1）．

点评：（1）本小题考查求直线的极坐标方程，把极坐标方程化为普通方程的方法，以及求直线被圆截得的弦长．
（2）通过构造函数，从而借助于函数的图象研究了一元二次函数值域的问题，将复杂问题简单化．整个解题过程充满对函数、方程和不等式的研究和转化，也充满了函数与方程思想的应用．