Question

1．如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足$\frac{AM}{MC}=\frac{MP}{PB}$=2，若$|\overrightarrow{AB}|$=2，$|\overrightarrow{AC}|$=3，∠BAC=120°，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$的值为（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $-\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 利用数量积运算性质可得：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$．利用向量共线定理及其三角形法则可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$．再利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：∵$|\overrightarrow{AB}|$=2，$|\overrightarrow{AC}|$=3，∠BAC=120°，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2×3×cos120°=-3．
∵$\overrightarrow{MP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$，∴$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}）$，化为$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=$（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{4}{9}×（-3）$+$\frac{2}{9}×{3}^{2}$-$\frac{2}{3}×{2}^{2}$=-2．
故选：A．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量共线定理及其三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．