Question

下列四个命题：①(a+

1

a

)2n的常数项是第n项；②（a+b）²ⁿ的前n项二项式系数之和等于后n项二项式系数之和，均等于2^2n-1；③(2a+

1

a

)n展开式中a的正指数项的系数之和大于a的负指数项的系数之和；④（3x+28x²-1）⁹⁹•（5x-7x²+2）⁸的常数项是2⁸其中正确命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根据二项式展开式的通项可得当r=n时即T_r+1是常数项．②展开式共有2n+1项，并且所有项的二项式系数之和2²ⁿ．
③a正指数项的系数之和为C_n⁰2ⁿ+C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…，a的负指数项的系数之和为C_nⁿ2⁰+C_n^n-12¹+C_n^n-22²+…．
④常数项是-2⁸．

解答：解：①由题意可得：(a+

1

a

)2n展开式的通项为T_r+1=C_2n^ra^2n-2r，所以当r=n时即T_r+1是常数项，所以①错误．
②由题意可得：（a+b）²ⁿ的展开式共有2n+1项，并且所有项的二项式系数之和2²ⁿ，所以展开式的前n项二项式系数之和与后n项二项式系数之和均等于2^2n-1错误，所以②错误．
③(2a+

1

a

)n展开式的通项为T_r+1=2^n-rC_n^ra^n-2r，a正指数项的系数之和为C_n⁰2ⁿ+C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…，a的负指数项的系数之和为C_nⁿ2⁰+C_n^n-12¹+C_n^n-22²+…，所以③正确．
④（3x+28x²-1）⁹⁹•（5x-7x²+2）⁸=[（3x+28x²）-1]⁹⁹•[（5x-7x²）+2]⁸的常数项是-2⁸，所以④错误．
故选A．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，以及二项展开式的有关性质与通项．