Question

设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．
（Ⅰ）用t表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），以及f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，建立方程组，即可用t表示a，b，c；
（II）先利用导数求出y=f（x）-g（x）的单调减区间，然后使（-1，3）是单调减区间的子集，建立关系式，解之即可求出t的范围．

解答：解：（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）=0，
即t³+at=0．因为t≠0，所以a=-t²．g（t）=0，即bt²+c=0，所以c=ab．
又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f'（t）=g'（t）．
而f'（x）=3x²+a，g'（x）=2bx，所以3t²+a=2bt．
将a=-t²代入上式得b=t．因此c=ab=-t³．故a=-t²，b=t，c=-t³．
（II）y=f（x）-g（x）=x³-tx²-t²x+t³，y'=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）．
当y'=（3x+t）（x-t）＜0时，函数y=f（x）-g（x）单调递减．
由y'＜0，若t＞0，则-

t

3

＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜-

t

3

．
由题意，函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，则（-1，3）?（-

t

3

，t）或（-1，3）?（t，-

t

3

）．
所以t≥3或-

t

3

≥3．即t≤-9或t≥3．
∴t的取值范围为（-∞，-9]∪[3，+∞）．

点评：本题主要考查函数与导数的基本知识，几何意义及其应用，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查学生数形结合思想以及转化与归化的能力，属于中档题．