Question

13、设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c．

Answer 1

分析：因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），故先求出其斜率的值，先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用斜率相等即可使问题解决．

解答：解：因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），
所以f（t）=0，
即t³+at=0．因为t≠0，所以a=-t²．
g（t）=0，即bt²+c=0，所以c=ab．
又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，
所以f′（t）=g′（t）．
而f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx，所以3t²+a=2bt．
将a=-t²代入上式得b=t．因此c=ab=-t³．
故a=-t²，b=t，c=-t³．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．