Question

【题目】已知是抛物线:上异于原点的动点， 是平面上两个定点.当的纵坐标为时，点到抛物线焦点的距离为.

(1)求抛物线的方程；

（2）直线交于另一点，直线交于另一点，记直线的斜率为，直线的斜率为. 求证： 为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）由已知条件和抛物线的定义可得。可求得。故抛物线方程为 。(2)要表示斜率，应先设出点的坐标，找坐标之间的关系，再求斜率乘积为定值。因为点， ， 在抛物线上，故可设， ， 。利用点和 ，求出直线的斜率，进而求其方程为： ，将该方程与抛物线方程联立，消得，根据两根积求得，求出。同理可得： 。进而求。因为，所以。求得结论。

详解：（1）点到抛物线焦点的距离为

点到准线的距离为

，得

抛物线方程为

（2）设， ，

直线的方程为： 由，得

由得，即

同理可得：

为定值