Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面SAD为正三角形，且垂直于底面ABCD．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）在边CD上是否存在一点E，使得SB⊥AE？请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）过点S作SF⊥AD，F为垂足，可得SF⊥底面ABCD，利用锥体的体积公式，即可求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）在边CD上存在一点E，使得SB⊥AE，取边CD的中点E，连接AE、BF交于O，证明AE⊥BF，可得AE⊥平面SBF，即可证明SB⊥AE．

解答： 解：（1）过点S作SF⊥AD，F为垂足．
因为侧面SAD垂直于底面ABCD，
所以SF⊥底面ABCD．
即SF为四棱锥S-ABCD的高．…（1分）
又侧面SAD为正三角形，且边长为a，
所以SF=

3

2

a．…（2分）
由此，VS-ABCD=

1

3

•AB•CD•SF=

1

3

×a×a×

3

2

a=

3

6

a3．…（4分）
所以四棱锥S-ABCD的体积为

3

6

a3．…（5分）
（2）在边CD上存在一点E，使得SB⊥AE．…（6分）
取边CD的中点E，连接AE、BF交于O．…（7分）
因为E、F分别为正方形ABCD的边CD、AD的中点，
所以△ADE和△BAF为全等的直角三角形，且∠AFB=∠DEA．…（8分）
而∠DEA+∠EAD=90°，所以∠AFB+∠EAD=90°，即∠AOF=90°．
所以AE⊥BF．…（10分）
又因为SF⊥底面ABCD，所以SF⊥AE，即AE⊥平面SBF，…（11分）
所以SB⊥AE．…（12分）

点评：本题考查锥体体积的计算，考查线面垂直的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．