Question

已知函数f(x)=

-x3+1，x∈(-∞，-1] 1-x，，x∈(-1，+∞)

，若f（6-a²）＞f（a）则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，-3）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（3，+∞）

C．（-3，2）

D．（-2，3）

Answer 1

分析：由分段函数在x小于等于-1和x大于-1时的函数关系式都为减函数，且两函数解析式在x=-1时的函数值相等，故f（x）在R上连续，从而得到f（x）在R上单调递减，根据减函数的性质，由f（6-a²）＞f（a）可得6-a²＜a，进而求出a的范围．

解答：解：∵x∈（-∞，-1]时，f（x）=-x³+1为减函数，f（-1）=2；
x∈（-1，+∞）时，f（x）=1-x也为减函数，f（-1）=2，
∴f（x）在R上连续，且单调递减，
由f（6-a²）＞f（a），得到6-a²＜a，即a²+a-6＞0，
分解因式得：（a-2）（a+3）＞0，
可化为：

a-2＞0 a+3＞0

或

a-2＜0 a+3＜0

，
解得：a＞2或a＜-3，
则实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
故选A

点评：此题考查了其他不等式的解法，运用了转化的思想，其中利用分段函数在x≤-1和x＞-1所对应的解析式都为减函数且f（x）在R上连续得出f（x）在R上单调递减是解本题的关键．