Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AC与BD交于点O，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=12°，PA=4．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若点E在线段BO上，且二面角E-PC-A的大小为60°，求线段OE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定，只需证明PA⊥BD，AC⊥BD；
（2）作出二面角的平面角，再利用三角函数，即可求得结论．
解答：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，
因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC；
（2）解：由（1）知，EO⊥平面PAC，过O作OF⊥PC，连接EF，则EF⊥PC
∴∠EFO为二面角E-PC-A的平面角，即∠EFO=60°
在直角△PAC中，PA=4，AC=4，∴∠PCA=45°，∴OF=OC×sin45°=
在直角△EOF中，OF=，∠EFO=60°，∴OE=OF•tan60°=
点评：本题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断，考查面面角，正确运用线面垂直的判定，作出面面角是关键．