Question

已知函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
（1）求f（x）的振幅和最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈[-π，π]时，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的有关概念和周期公式，可算出f（x）的振幅A=2和最小正周期T=π；
（2）由x∈[0，

π

2

]得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，结合正弦函数的图象与性质即可算出函数f（x）的值域；
（3）根据正弦函数的单调区间公式，解关于x的不等式

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z），再结合x∈[-π，π]取分别取k=-1和0，即可得到函数f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）振幅为A=2                         …（1分）
函数最小正周期为：T=

2π

2

=π                  …（2分）
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x∈[0，π]
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，可得-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1    …（4分）
∴函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）的值域为[-1，2]；                           …（6分）
（3）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z）              …（7分）
解之得：

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，（k∈Z）                  …（8分）
∵x∈[-π，π]，且k∈Z
∴x∈[-

2π

3

，-

π

6

]∪[

π

3

，

5π

6

]…（11分）
∴当x∈[-π，π]时，函数f（x）的单调递减区间是[-

2π

3

，-

π

6

]∪[

π

3

，

5π

6

]…（13分）

点评：本题给出复合型三角函数解析式，求函数的单调区间与值域，着重考查了三角函数的图象与性质、函数值域的求法等知识，属于中档题．