Question

【题目】已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8， 若x＜﹣1，则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．
若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．
若x＞3，则有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10．
综上可得，x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，
∴函数f（x）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，
解得a=2，或a=﹣8．
【解析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值．