Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=1，G是EF的中点．
（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：CB⊥面ABEF，所以有CB⊥AG，CB⊥BG，根据线段的长度关系可得：AB²=AG²+BG²，即可得到AG⊥BG，再利用面面垂直的判断定理可得面面垂直．
（2）由（1）知，面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，所以∠BGH是BG与平面AGC所成的角，即∠CGB为所求角，进而利用解三角形的有关知识求出答案．

解答：解：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴CB⊥AB．
∵二面角C-AB-F是直二面角，
∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，
∴CB⊥AG，CB⊥BG，…（2分）
又∵AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=

2

a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，
∴AG⊥BG．…（4分）
∵CB∩BG=B，
∴AG⊥平面GBC，
又∵AG?面ACG，
∴平面AGC⊥平面BGC．…（6分）
（2）由（1）知，面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，
所以∠BGH是BG与平面AGC所成的角，即∠CGB为所求角，…（8分）
因为G为EF的中点，并且BE=1，EF=2，
所以BG=

2

．
在Rt△BCG中，BC=2，BG=

2

，所以CG=

6

，
所以sin∠BGC=

BC

CG

=

6

3

．…（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握面面垂直的判断定理与解三角形的有关知识，以及线面角的作法，而求空间角步骤是：作角，证角，求角，而作角是关键．