Question

【题目】设函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述命题：
①f（x）有最小值；
②当a=0时，f（x）的值域为R；
③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥﹣4；
④a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，0）；
则其中正确的命题的序号是

Answer 1

【答案】②
【解析】解：①f（x）有最小值不一定正确，因为定义域不是实数集时，
函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）的值域是R，无最小值，
题目中不能排除这种情况的出现，故①不对．
②当a=0时，f（x）的值域为R是正确的，因为当a=0时，函数的定义域不是R，
即内层函数的值域是（0，+∞）故（x）的值域为R故②正确．
③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥﹣4．是不正确的，
由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，可得内层函数的对称轴﹣ ≤2，可得a≥﹣4，
由对数式有意义可得4+2a﹣a﹣1＞0，解得a＞﹣3，
故由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，应得出a＞﹣3，故③不对；
④a=1时，f（x）=lg（x2+x﹣2），令x2+x﹣2＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，
故函数的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故④不对；
综上，②正确，
所以答案是：②．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．