Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b为实数），
（1）若f（x）满足不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若c=1，f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立；当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据给出的不等式的解集为（1，3），列出关于a、b、c的不等式组，然后再根据方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，其判别式等于0求解出a的值，则函数解析式可求；
（2）根据f（-1）=0列一个关于a、b、c的方程，再由对任意实数x均有f（x）≥0成立，说明其对应方程的判别式恒小于等于0，求解出函数f（x）后，借助于二次函数的对称轴与单调区间的关系求解实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）
即ax²+（b+2）x+c＞0的解集为（1，3）
∴

a＞0 a+b+2+c=0 9a+3(b+2)+c=0

⇒

a＞0 b=-4a-2 c=3a

          (1)，
∵方程f（x）+6a=0有两个相等的实根
即ax²+bx+c+6a=0有两个相等的实根△=b²-4a（c+6a）=0（2），
将（1）代（2）解得a=-

1

5

 ，a=1（舍），
∴b=-

6

5

c=-

3

5

∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

．
（2）f（x）=ax²+bx+1∵f（-1）=0∴a-b+1=0（3）
∵对任意实数x均有f（x）≥0成立∴△=b²-4a≤0将（3）代入得（a-1）²≤0
∴a=1b=2∴f（x）=x²+2x+1
∵g（x）=x²+（2-k）x+1在[-3，3]单调
∴-

2-k

2

≤-3或∴-

2-k

2

≥3
∴k≤-4或k≥8．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，同时考查了函数单调性的性质，分析二次函数的单调区间，首先要考虑的就是二次函数对称轴所处的位置．