Question

2．椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1与x、y轴的交点分别为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为$\frac{1}{2}$的点P的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通过椭圆方程确定交点A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，再根据三角形的面积求出AB边上的高，设出P的坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线AB的距离即为AB边上的高，得到关于a和b的方程，把P代入椭圆方程得到关于a与b的另一个关系式，两者联立利用根的判别式判断出a与b的值有几对即可得到交点有几个．

解答 解：依题意，由对称性不妨设A（0，2），B（1，0），
则直线AB方程为：y=-2x+2，|AB|=$\sqrt{（0-1）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△PAB的面积为$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$|AB|•h=$\frac{1}{2}$，
∴AB边上的高h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
设P的坐标为（a，b），则${a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}=1$，点P到直线AB的距离d=$\frac{|2a+b-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴2a+b-2=1或2a+b-2=-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{{a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去b得：8a²-12a+5=0，
∵△=144-160=-16＜0，∴方程无解；
联立$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=1}\\{{a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去b得：8a²-4a-3=0，
∵△=16+96=112＞0，
∴a有两个不相等的根，则对应的b也有两个不等的根；
综上所述，满足条件的P的个数有2个．
故选：B．

点评 考查学生会求直线与椭圆的交点坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，同时要求学生会利用根的判别式判断方程解的情况，注意解题方法的积累，属于中档题．