Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦点F（1，0），定点A（2，1），P为椭圆上一动点，则PA+3PF的最小值为7．

Answer 1

分析 通过椭圆右焦点F（1，0）可知椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，进而可知离心率e=$\frac{1}{3}$、准线方程为x=±9，利用椭圆第二定义可知PA+3PF的最小值即为点A到右准线的距离AB，计算即得结论．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦点F（1，0），
∴m=8+1=9，即椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，准线方程为：x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=±9，
由椭圆第二定义可知3PF即为点P到右准线的距离，
从而PA+3PF的最小值即为点A到右准线的距离AB，
又∵A（2，1），
∴AB=x_B-x_A=9-2=7，
故答案为：7．

点评 本题考查椭圆的第二定义，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．