Question

19．已知数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n=1，2，3，…）．
（1）求a₂、a₃、a₄；
（2）归纳猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n=1，2，3，…），分别令n=1，2，3，即可得出；
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n=1，2，3，…）．∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+2{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，同理可得：a₃=$\frac{1}{5}$，a₄=$\frac{1}{7}$．
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，成立；
②假设当n=k时，a_k=$\frac{1}{2k-1}$．
则当n=k+1（k∈N^*）时，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+2{a}_{k}}$=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{1+\frac{2}{2k-1}}$=$\frac{1}{2k+1}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，
因此当n=k+1时，命题成立．
综上①②可知：?n∈N^*，a_n=$\frac{1}{2n-1}$都成立．

点评 本题考查了数学归纳法、递推公式、数列的通项公式，考查了猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．