Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且a²，2$\sqrt{3}$，b²成等比数列．
（1）求C的方程；
（2）设C上一点P的横坐标为1，F₁，F₂为C的左，右焦点，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）通过e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$可知$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即3a²=4b²，利用a²，2$\sqrt{3}$，b²成等比数列可知12=a²b²，联立计算可知a²=4、b²=3，计算即得结论；
（2）通过（1）可知F₁（-1，0）、F₂（1，0），通过C上一点P的横坐标为1可知y_P=±$\frac{3}{2}$，利用${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y_P|计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即3a²=4b²，①
又∵a²，2$\sqrt{3}$，b²成等比数列，
∴12=a²b²，②
联立①②，解得：a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）可知F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵C上一点P的横坐标为1，
∴y_P=±$\sqrt{3}$$•\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=±$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y_P|
=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．