Question

（本题满分12分）
一个四棱椎的三视图如图所示：（I）求证：PA⊥BD；
（II）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30^o？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，
连接AC、BD交于点O，连接PO ． ……………………………………………3分
因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，
即BD⊥PA．…………………………………………………………………………6分
（II）由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，
因为AC⊥OQ，AC⊥OD，
所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角， ……………………………………8分
在△POD中，PD＝2，OD＝，则∠PDO＝60^o，
在△DQO中，∠PDO＝60^o，且∠QOD＝30^o．所以DP⊥OQ． ……………10分
所以OD＝，QD＝．
所以． …………………………………………12分

略