Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2ax²+b（a＞0）在区间[-2，1]上的最大值是5，最小值是-11．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求曲线y=f（x）在x=-1处的切线方程；
（3）若t∈[-1，1]时，f′（x）+tx≤0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³-2ax²+b，∴f^′（x）=3ax²-4ax=ax（3x-4）
令f^′（x）=0解得x₁=0，∉[-2，1]（舍去）
由于a＞0，f（x）在x∈[-2，0]上单调递增，在x∈[0，1]上单调递减，
∴f（0）必为最大值，而f（0）=5，因此b=5
由a＞0，∴-a+b＞-16a+b，即f（1）＞f（-2）
则有f（x）_min=f（-2）=-16a+b=-16a+5=-11，∴a=1
∴f（x）=x³-2x²+5
（2）由（1）及题意得，f（-1）=2且f^′（x）=3x²-4x
∴曲线在x=-1处的切线斜率k=f^′（-1）=3（-1）²-4（-1）=7
∴曲线在x=-1处的切线方程为y-2=7（x+1），即7x-y+9=0
（3）由（2）及题意得f′（x）+tx≤0等价于3x²-4x+tx≤0
令g（t）=xt+3x²-4x
则所求问题等价于g（t）≤0在∈[-1，1]上恒成立求x的取值范围，
为此只需即解得0≤x≤1．
故所求是实数x的取值范围为[0，1]
分析：（1）由导函数f^′（x）=3ax²-4ax=ax（3x-4）即a＞0可知f（x）在x∈[-2，0]上单调递增，在x∈[0，1]上单调递减，可知f（0）=5，f（-2）=-11，可解ab的值，解析式可求；
（2）由（1）可求x=-1处的斜率，可写方程；
（3）构造关于t的函数，则所求问题等价于g（t）≤0在∈[-1，1]上恒成立求x的取值范围，解方程组即可．
点评：本题为函数导数的综合应用，正确表示出函数在闭区间的最值是解决问题的关键，属中档题．