Question

（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x,y），M（，0），若实数λ使向量，λ，满足λ²·（）²=·。

（1）求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；

（2）当λ=时，过点A₁且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使ΔA₁BC为正三角形（请说明理由）。

Answer 1

解析:

解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),

∵2（）2=·，∴²（x²-9）=x²-9+y²,

即P点的轨迹方程（1-²）x²+y²=9（1-₂）

当＞0，且≠0，即∈（-1，0）时，有+=1，

∵＞0，∴＞0，∴x2≤9。

∴P点的轨迹是点A₁，（-3，0）与点A₂（3，0）  ………………………………3分

当=0时，方程为x²+y²=9，P的轨迹是点A₁（-3，0）与点A₂（3，0）

当＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，方程为-=1，P点的轨迹是双曲线。

当=0，即=±1时，方程为y=0，P点的轨迹是射线。……………………6分

（2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,

当=时，曲线方程为+=1，

由（1）知，其轨迹为点A₁（-3，0）与A₂（3，0）

因直线过A₁（-3，0），但不过A₂（3，0）。

所以，点B不存在。

所以，在直线x=-9上找不到点C满足条件。           …………………………12分