Question

已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f'（x），其中a是正实数．
（1）若当1≤x≤e时，函数f（x）有最大值-4，求函数f（x）的表达式；
（2）求a的取值范围，使得函数g（x）在区间（0，+∞）上是单调函数．

Answer 1

分析：（1）由当1≤x≤e时，函数f（x）有最大值-4，求出函数f（x）=lnx-ax的导数，对a的范围时行讨论，得出函数在1≤x≤e最值，令其为-4，求出参数a，即可得到函数的解析式；
（2）a的取值范围，使得函数g（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，可得出，此a的取值范围，可设得函数g（x）在区间（0，+∞）上的导数值恒为正或恒为负，由此建立不等式求出a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-a，由

f′(x)＞0 x＞0

得0＜x＜

1

a

∴f(x)在(0，

1

a

]上单调递增，在[

1

a

，+∞)单调递减，（3分）
若x∈（0，+∞），则当x=

1

a

时，f（x）取得最大值．
由条件1≤x≤e，所以
①当1≤

1

a

≤e，即

1

e

≤a≤1时，fmax(x)=f(

1

a

)=-4，∴a=e³＞1不可能；
②当0＜

1

a

＜1即a＞1时，由单调性可知f_max（x）=f（1）=-4，∴a=4＞1满足条件；
③当

1

a

＞e即0＜a＜

1

e

时，由单调性可知f_max（x）=f（e）=-4，∴a=

5

e

＞

1

e

也不可能．
综上可知a=4，进而f（x）=lnx-4x（7分）
（2）g(x)=lnx-ax+

1

x

-a∴g′(x)=

1

x

-a-

1

x2

=-(

1

x

-

1

2

)2+

1

4

-a（9分）
当

a＞0 1 4 -a≤0

，即a≥

1

4

时，g'（x）≤0恒成立，且只有x=2时g'（x）=0，
所以a≥

1

4

时，函数g（x）在区间（0，+∞）上单调．
因为所求a的取值范围是[

1

4

，+∞)．   （12分）

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第一小题利用最值建立方程求出参数，此是导数在最值问题中的一个重要运用，本题运算量大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．