Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．

Answer 1

【答案】（1）;（2）详见解析．

【解析】

试题（1）当焦点不确定在哪个轴时，可以分别讨论在轴时，，代入点，当在轴时，代入点解或，成立的就是椭圆方程;或直接设椭圆的一般式，代入三点的坐标解方程组；

（2）直线方程与椭圆方程联立，设，，由根与系数的关系得到和设直线的方程，直线的方程为后有三种方法，法一，当时计算交点的纵坐标，并根据直线方程与根与系数的关系证明纵坐标相等，法二是联立直线与的方程，消去后利用根与系数的关系得到交点的横坐标等于4，法三类似于法二，只是先通过根与系数的关系先消去，得到与的关系，然后再联立两个方程得到交点横坐标为4．

试题解析：（1）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），

则，又点在椭圆上，得．解得．

∴椭圆的方程为．

当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），

则，又点在椭圆上，得．

解得，这与矛盾．

综上可知，椭圆的方程为．

解法二：设椭圆方程为（），

将、、代入椭圆的方程，得

解得，．

∴椭圆的方程为．

（2）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得，

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．

直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，

同理可求得直线与直线的交点坐标为．

下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：

∵，，

∴

．

因此结论成立．

综上可知，直线与直线的交点在直线上．

证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，

得，

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．

直线的方程为：，即．

直线的方程为：，即．

由直线与直线的方程消去，得

．

∴直线与直线的交点在直线上．

证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，

得，

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．

消去得，．

直线的方程为：，即．

直线的方程为：，即．

由直线与直线的方程消去得，

．

∴直线与直线的交点在直线上．