Question

【题目】设函数

（1）当a＝b＝1时，求函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程；

（2）当b＝1时，若存在，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）3x+4y﹣e2＝0（2）

【解析】

（1）求，即可求解；

（2）存在，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，转化为，通过配方法求出，对分类讨论，确定的单调性或求出的极小值，进而求出的最小值，即可求解.

（1）当a＝b＝1时，f（x），，

，f'（e2），

故函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2＝0；

（2）当b＝1时，f（x），

，

设，

当x∈[e，e2]时，，g（x），

故存在，使成立，

只需x∈[e，e2]，即可，下面求f（x）的最小值，

由于，

当a时，f'（x）≤0，f（x）在[e，e2]递减，

，得；

当时，x∈[e，e2]，

由于，

若﹣a≥0，即f'（x）≥0，f（x）递增，

，故不成立；

若﹣a＜0，即0＜a，根据复合函数的单调性，

f'（x）在[e，e2]单调递增，存在唯一零点m∈（e，e2），

f'（m）＝0，使得f（x）在[e，m]，f'（x）＜0，f（x）递减；

f（x）在（m，e2]，f'（x）＞0，f（x）递增；

故f（x），m∈（e，e2），

若成立，即成立，

设，x∈（e，e2），

递减，

所以，

所以不成立；

综上，，

故a的最小值为．