Question

（本小题满分12分）如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB.

（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，求证：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求线段PA上点Q的位置，使得PC//平面BDQ．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC
又DE垂直平分PC，∴DE⊥PC ∴PC⊥平面BDE，………… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD
因为 PA⊥底面ABC ，所以PA⊥BD
BD⊥平面PAC，所以点Q是线段PA上任一点都有BD⊥DQ     ………………………………… 8分
（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC= 计算得AD=AC 所以点Q在线段PA的处，即AQ=AP时，PC//QD，从而PC//平面BDQ ．                  ……………………………………… 12分