Question

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1
（1）证明：MN∥平面PCD；
（2）证明：MC⊥BD；
（3）求二面角A—PB—D的余弦值。

Answer 1

略

解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，
由已知M，N分别是PA，BC的中点，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE平面MNE，MENE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，           2分
所以，MN∥平面PCD   3分
（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如图，以D为坐标原点，

射线DA，DC，DP分别为
轴、轴、轴
正半轴建立空间直角坐标系   
则D（0，0，0），A（，0，0），
B（，1，0）（0，1，0），
P（0，0，）     5分
所以（，0，），，  6分
∵·=0，所以MC⊥BD         7分
（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE,
所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，      
由已知，所以平面PBD的法向量
M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，
所以DM⊥平面PAB，         
所以平面PAB的法向量（-，0，）      9分
设二面角A—PB—D的平面角为θ，
则.
所以，二面角A—PB—D的余弦值为.             12分