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如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=
2
|MD|,点A、F1的坐标分别为(0,
2
),(-1,0).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求此时点M的坐标.
分析:(1)确定M、P坐标之间的关系,利用P是圆x2+y2=2上的动点,即可求轨迹;
(2)由(1)知,M的轨迹方程是椭圆,F1是左焦点,设右焦点为F2,利用|MA|+|MF1|=2
2
+|MA|-|MF2|≤2
2
+|AF2|=2
2
+
3
,即可求得结论.
解答:解:(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp
∵PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=
2
|MD|,
∴xp=x,yp=
2

∵P是圆x2+y2=2上的动点,
∴x2+2y2=2;
(2)由(1)知,M的轨迹方程是椭圆,F1是左焦点,设右焦点为F2,坐标为(1,0)
∴|MA|+|MF1|=2
2
+|MA|-|MF2|≤2
2
+|AF2|=2
2
+
3

当A,F2,M三点共线,且M在AF2延长线上时,取等号
直线AF2的方程为x+
y
2
=1
,与椭圆方程联立,解得x=
4+
6
5
,y=
2
-2
3
5

∴所求最大值为2
2
+
3
,此时M的坐标为(
4+
6
5
2
-2
3
5
).
点评:本题考查利用相关点法求动点的轨迹方程,考查最值问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=
4
5
|PD|
(Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率
4
5
的直线被C所截线段的长度.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=
45
|PD|
(1)求:当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.
(2)直线l:kx+y-5=0恒与点M的轨迹C有交点,求k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为线段PD上一点,|PD|=
2
|MD|.点A(0,
2
)、F1(-1,0).
(1)设在x轴上存在定点F2,使|MF1|+|MF2|为定值,试求F2的坐标,并指出定值是多少?
(2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求此时点M的坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•茂名一模)如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,点D是P在x轴上的投影.M为线段PD上一点,且|MD|=
2
2
|PD|

(1)当点P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),设点A(1,m)(m>0)是轨迹C上的一点,求∠F1AF2的平分线l所在直线的方程.

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