Question

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，|PD|=

2

|MD|．点A（0，

2

）、F₁（-1，0）．
（1）设在x轴上存在定点F₂，使|MF₁|+|MF₂|为定值，试求F₂的坐标，并指出定值是多少？
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此时点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（x_p，y_p），点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，由条件得：x_p=x，且yp=

2

y，由此能导出M轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，从而能求出F₂的坐标和定值．
（2）由（1）知，|MA|+|MF1|=2

2

+|MA|-|MF2|≤2

2

+|AF2|=2

2

+

3

，当A，F₂，M三点共线，且M在AF₂延长线上时，取等号．由此能求出M点坐标．

解答：解：（1）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（x_p，y_p），
∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，
由条件得：x_p=x，且yp=

2

y，
∵P在圆x²+y²=2上，∴x2+(

2

y)2=2，
整理，得

x2

2

+y2=1，c=

2-1

=1，
∴M轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，
由椭圆定义知|MF₁|+|MF₂|=2a=2

2

．
（2）由（1）知，|MA|+|MF1|=2

2

+|MA|-|MF2|≤2

2

+|AF2|=2

2

+

3

，
当A，F₂，M三点共线，且M在AF₂延长线上时，取等号．
直线AF2：x+

y

2

=1，联立

x2

2

+y2=1，
其中1＜x＜

2

，解得

x1= 4+ 6 5 y1= 2 -2 3 5

，
即所求的M的坐标(

4+ 6

5

，

2 -2 3

5

)．

点评：本题考查点的坐标的求法，求定值．具体涉及到椭圆的简单性质，圆的性质和应用，直线与圆锥曲线的位置关系．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．