Question

下列命题中，真命题的序号有

③④

．（写出所有真命题的序号）
①当x＞0且x≠1时，有lnx+

1

lnx

≥2；
②函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-

1

a

}；
③函数f（x）=e^-xx²在x=2处取得极大值；
④若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，则tanαcotβ=5．

Answer 1

分析：通过特例判断①的正误；通过a的符号判断②的正误；利用导数与极值的关系判断③的正误；利用两角和与差的三角函数计算④判断正误即可．

解答：解：对于①当x＞0且x≠1时，有lnx+

1

lnx

≥2，不正确，例如x=

1

2

，左侧是负数，不正确；
对于②函数f（x）=lg（ax+1）可知ax＞-1，当a＞0时函数的定义域是{x|x＞-

1

a

}；a＜0时函数的定义域是{x|x＜-

1

a

}；
所以②不正确；
对于③函数f（x）=e^-xx²，f′（x）=-e^-xx²+2e^-xx，令-e^-xx²+2e^-xx，解得x=2，
当x＜2时导函数f′（x）＞0，函数是增函数，
当x＞2时f′（x）＜0，函数是奇函数，
所以函数在x=2处取得极大值；正确．
对于④若sin（α+β）=

1

2

=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α-β）=

1

3

=sinαcosβ-cosαsinβ，
解得sinαcosβ=

5

12

，cosαsinβ=

1

12

，
∴tanαcotβ=5，正确．
故答案为：③④．

点评：本题是综合题，考查函数与导数的关系最值的求法，两角和与差的三角函数，函数的定义域的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．