Question

一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点.
（1）求证:；
（2）求证:；             
（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）

（1）证明：依题意，该三视图所对应的直观图为一侧棱PA垂直于底面ABCD的四棱锥，且PA=AB=AD=1，四边形ABCD为正方形；
分别连结AC、BD交于O，连结EO，∵E是PD的中点，∴PB∥EO，
又PB平面ACE，EO平面ACE，∴PB∥平面ACE。…………4分　
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
又PC平面PAC，PC⊥BD。…………9分　
（3）∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=1，∴V_C—PAB=V_P—ACD=×S_ΔABC×PA=××1×1×1=。∴三棱锥C—PAB的体积为。…………14分