Question

【题目】已知函数，．

（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数在点处的切线方程；

（2）若对于，恒成立，求正实数的取值范围；

（3）设函数，且函数有极大值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由求得实数的值，可求出切点坐标，再利用点斜式方程可得出所求切线的方程；

（2）令，且有，对实数进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的取值范围；

（3）由题意得出，可得出，且，代入，利用导数证明出对任意的恒成立即可.

（1），则，

直线的斜率为，由题意可得，解得，

所以，，则，则点，

因此，所求切线的方程为，即；

（2），恒成立，即恒成立，

令，其中，且，则对恒成立，

.

①当时，对任意的，，此时，函数在上单调递增，此时，，不合乎题意；

②当时，则.

（i）若，则，对，，此时，函数在上单调递减，则，合乎题意；

（ii）若，则，

令，得，解得，，

由韦达定理得，则必有，

当时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减.

所以，，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是；

（3），所以，，

函数的定义域为，

由于函数有极大值点，则，解得或.

设方程的两根分别为、，则，

若，则且，不合乎题意；

若，则且，合乎题意.

由于函数的极大值点为，则，即，

当时，；当时，；当时，.

且，可得，

令，

，

当时，，则，此时.

所以，函数在区间上单调递减，

因为，则，因此，.