Question

18．函数f（x）=k•a^-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=$\frac{f（x）+b}{f（x）-1}$是奇函数，求b的值；
（3）在（2）的条件下判断函数g（x）的单调性，并用定义证明你的结论；
（4）解不等式g（3x）+g（x-3-x²）＜0．

Answer 1

分析 （1）将A（0，1），B（3，8）代入函数解析式，得到关于k和a的方程，解方程即可得k和a的值，最后写出解析式即可．
（2）根据函数奇偶性的定义进行求解．
（3）根据函数单调性的定义进行证明．
（4）结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）将A（0，1），B（3，8）代入函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{k•{a}^{-3}=8}\end{array}\right.$，
解得k=1，a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2^x
（2）g（x）=$\frac{f（x）+b}{f（x）-1}$=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}-1}$，
若g（x）是奇函数，
则g（-x）=-g（x），
即$\frac{{2}^{-x}+b}{{2}^{-x}-1}$=-$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}-1}$，
即$\frac{1+b•{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}+b}{1-{2}^{x}}$，
即1+b•2^x=2^x+b，
则b=1．
（3）∵b=1，
∴g（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
要使原来函数有意义，必须满足2^x-1≠0，即x≠0
∴函数的定义域为{x|x≠0}；
设x₁＜x₂＜0，
则g（x₁）-g（x₂）=1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-1）-2（{2}^{{x}_{1}}-1）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$，
∵x₁＜x₂＜0，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$＜1，即${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0．
${2}^{{x}_{1}}$-1＜0，${2}^{{x}_{2}}$-1＜0，
则$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
即g（x₁）-g（x₂）＞0，则g（x₁）＞g（x₂），即此时函数单调递减，
同理当x＞0时，函数g（x）为单调递减函数．
（4）∵g（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
∴当x＞0时，g（x）＞0，
当x＜0时，g（x）＜0，
不等式g（3x）+g（x-3-x²）＜0．
等价为不等式g（3x）＜-g（x-3-x²）=g（x²-x+3），
∵x²-x+3=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$＞0，
∴g（x²-x+3）＞0，
若3x＜0，则x＜0时，g（3x）＜0，则不等式成立，
若3x＞0，即x＞0时，
∵g（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴3x＞x²-x+3，
即x²-4x+3＜0，
解得1＜x＜3，
综上不等式的解为1＜x＜3或x＜0，
即不等式的解集为（1，3）∪（-∞，0）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，函数奇偶性，单调性的应用，以及利用函数奇偶性和单调性的关系求解不等式，综合考查函数的性质．