Question

10．已知函数y=f（x）的定义域为R，且不恒为0，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）当x＞0时，f（x）＜0，判断函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令x=y=0即可得到结论．
（2）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明f（x）为奇函数；
（3）根据函数单调性的定义结合抽象函数的关系进行证明即可．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
（2）令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（3）设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞0，
则f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函数为减函数．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键．