Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点

（1）求证：AN∥平面 MBD;

（2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值;

（3）求二面角M-BD-C的余弦值.

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）构造三角形的中位线，出现线线平行，利用线面平行的判定即得线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的余弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.

规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住有关判定定理与性质定理并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及夹角、距离的求解问题以及开放性问题，要注意恰当建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

试题解析：（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，

∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，

∵M、N为侧棱PC的三等分点，∴CM=MN，

∴OM∥AN, ∵平面MBD，AN平面MBD

∴AN∥平面MBD

（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz,

则A（0,0,0），B（3，0,0）, C(3,6,0),D(0,6,0)

P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2)

∵

∴异面直线AN与PD所成的角的余弦值为

（3）∵侧棱PA⊥底面ABCD

∴平面BCD的一个法向量为

设平面MBD的法向量为

并且

，令y=1,得x=2,z=-2

∴平面MBD的一个法向量为

由图知二面角是锐角

∴二面角的余弦值为.

考点：1.线面平行的判定定理；2.空间向量的应用.