Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且各项都是正数，2S_n=a_n+1²-a_n+1（n∈N^*），a₁=1，
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过在2S_n=a_n+1²-a_n+1（n∈N^*）中令n=1、2，直接计算即得结论；
（2）通过2S_n=a_n+1²-a_n+1与2S_n+1=a_n+2²-a_n+2作差，计算即得结论；
（3）通过（2）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，通过裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵2a₁=${{a}_{2}}^{2}$-a₂，a₁=1，
∴a₂=2或a₂=-1（舍），
∵2（a₁+a₂）=${{a}_{3}}^{2}$-a₃，
∴a₃=3或a₃=-2（舍）；
（2）∵2S_n=a_n+1²-a_n+1（n∈N^*），
∴2S_n+1=a_n+2²-a_n+2，
两式相减得：2a_n+1=a_n+2²-a_n+2-a_n+1²+a_n+1，
整理得：a_n+2-a_n+1=1，
由（1）可知a₂-a₁=1满足上式，
∴a_n=1+（n-1）=n；
（3）由（2）可知：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．