Question

16．已知数列{a_n}的第一项a₁=5，且S_n-1=a_n（n≥2  n∈N₊）
（1）求a₂、a₃、a₄并由此猜想a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）的结论．

Answer 1

分析 （1）利用S_n-1=a_n，代入计算，可得结论，猜想a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N^*）．
（2）用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）当n=2时，S₁=a₁=a₂=5，
当n=3时，a₃=a₁+a₂=10，
当n=4时，a₄=a₁+a₂+a₃=20，
猜想a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N^*）
（2）证明：①当n=2时，a₂=5×2^2-2=5，猜想成立，
②假设n=k时成立，即a_k=5×2^k-2（k≥2，k∈N^*），
那么当n=k+1时，a_k+1=S_k=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_k=5+5+10+…+5×2^k-2=5+$\frac{5（1-{2}^{k-1}）}{1-2}$=5×2^k-1，
故n=k+1时猜想成立，
由①②可知对n≥2，n∈N^*，a_n=5×2^n-2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{5×{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法