Question

6．用数学归纳法证明：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}=\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 首先题目要求应用数学归纳法证明不等式，数学归纳法的一般步骤是，第一步验证第一项是否成立，第二步假设n=k时候结论成立，去验证n=k+1时候结论是否成立．若都成立即得证．

解答 证明：①当n=1时，左边=$\frac{1}{1×（1+1）}$=$\frac{1}{2}$，右边=$\frac{1}{2}$，等式成立；
②假设n=k时，等式成立；即$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{k}{k+1}$，
当n=k+1时，左边=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k+1}{k+1+1}$，
即当n=k+1时，等式成立，
由①②可知等式成立．

点评 本题主要考查的是用数学归纳法证明不等式，属于中档题目，同学们做题的时候要注意分析题目要求切忌不能用别的方法证明．