Question

1．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，MN分别是A₁B，B₁D₁的中点．
（1）证明：MN∥平面BB₁C₁C；
（2）设AB=BC=2，二面角N-A₁B-B₁的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，求三棱锥M-NBC的体积．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中点G，由三角形中位线的性质证得线线平行，进一步得到线面平行，可得MN∥平面BB₁C₁C；
（2）求出二面角N-A₁B-B₁的平面角，设出AA₁=2m，通过求解直角三角形得到AA₁，然后求得三角形NBC的面积，再求出M到平面NBC的距离，代入三棱锥体积公式得答案．

解答 （1）证明：如图，
取A₁B₁的中点G，连接MG，NG，又M，N分别是A₁B，B₁D₁的中点，
∴MG∥BB₁，NG∥A₁D₁∥B₁C₁，
∴MG∥面BB₁C₁C，NG∥BB₁C₁C，
又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BB₁C₁C，则MN∥平面BB₁C₁C；
（2）解：在平面A₁ABB₁中，过G作GH⊥A₁B，垂足为H，连接NH，则∠NHG为二面角N-A₁B-B₁的平面角，
∴$cos∠NHG=\frac{GH}{NH}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
设AA₁=2m，
∵AB=BC=2，∴${A}_{1}M=\sqrt{{m}^{2}+1}$，则$HG=\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
NH=$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+1}}=\sqrt{\frac{2{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1}}$，∴$\frac{m}{\sqrt{2{m}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得：m=$\sqrt{2}$．
则N到BC的距离为$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$，
∴${S}_{△BNC}=\frac{1}{2}×2×3=3$．
过M作BG的垂线MK，则MK为M到平面NBC的距离．
∴MK=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴三棱锥M-NBC的体积V=$\frac{1}{3}×3×\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．