Question

16．已知函数f（x）=cos²x-2asinx-a（a∈R）．
（1）若函数为偶函数，求a的值；
（2）若函数的最大值为g（a），当方程g（x）=kx有1个根时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数为偶函数，则f（-x）=f（x），进而可得a的值；
（2）求出g（a）的解析式，并在同一坐标系中画出函数y=g（x）与y=kx的图象，分析两个函数图象有一个交点时，k的范围，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cos²x-2asinx-a为偶函数，
∴f（-x）=cos²（-x）-2asin（-x）-a=f（x）=cos²x+2asinx-a，
解得：a=0，
（2）∵函数f（x）=cos²x-2asinx-a=（1-sin²x）-2asinx-a=-（sinx+a）²+a²-a+1，
若-a≥1，即a≤-1，当sinx=1时，g（a）=-3a，
当-1＜-a＜1，即-1＜a＜1，当sinx=-a时，g（a）=a²-a+1，
若-a≤-1，即a≥1，当sinx=-1时，g（a）=a，
故函数g（x）的图象如下图所示：

由图可知：当k∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，函数y=g（x）与y=kx的图象有一个交点，即方程g（x）=kx有1个根，
故k的取值范围为：（-∞，-3）∪（1，+∞）

点评 本题考查的知识点是三角函数的最值，函数的奇偶性，方程根的个数与函数零点的关系，难度中档．