Question

5．已知函数f（x）=|x-2|+|2x-1|．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，将含绝对值不等式变成一次不等式，即可求解；
（2）根据条件知，a小于f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）x＜$\frac{1}{2}$时，由原不等式得：2-x+1-2x＞2，解得x＜$\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{2}≤x≤2$时，由原不等式得：2-x+2x-1＞2，解得x＞1；
x＞2时，由原不等式得：x-2+2x-1＞2，解得x＞$\frac{5}{3}$；
∴原不等式的解集为（-$∞，\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-3x，x＜\frac{1}{2}}\\{x+1，\frac{1}{2}≤x≤2}\\{3x-3，x＞2}\end{array}\right.$，可知f（x）的最小值为$\frac{3}{2}$；
∵不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，
∴a的取值范围为（-∞，$\frac{3}{2}$）．

点评 考查含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，对于第二问，要弄清让f（x）的最小值满足不等式即得a的取值范围．