Question

17．如图，在平面直角坐系中，角α，β，γ的终边为x轴的正半轴，角α，β，γ的范围均为[0，π]，且角α，β，γ的终边关于角γ的终边对称．
（1）若角α的终边经过点A（4，3），角β的终边经过点B（-12，5），线段AB与角γ的终边交于点D，求点D的坐标；
（2）若角γ的终边所在的射线方程是y=-2x（x≥0），求sin（3α+3β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知γ-α=β-γ，即a+β=2γ，根据余弦函数的和差公式，和二倍角公式求出cosγ=-$\frac{\sqrt{65}}{65}$，sinγ=$\frac{8\sqrt{65}}{65}$，得到tanγ=-8，得到D点所在的直线为y=-8x，和直线AB方程为y-3=-$\frac{1}{8}$（x-4），解方程组得，即可求出点D的坐标，
（2）多次利用二倍角公式和正弦函数的和差公式即可求出答案．

解答 解：（1）由已知γ-α=β-γ，即a+β=2γ，
cosα=$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$，cosβ=-$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{5}{13}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{4}{5}×（-\frac{12}{13}）-\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=-$\frac{63}{65}$，
∴cos2γ=-$\frac{63}{65}$=2cos²γ-1，
∴cosγ=-$\frac{\sqrt{65}}{65}$，sinγ=$\frac{8\sqrt{65}}{65}$，
∴tanγ=-8，
∴D点所在的直线为y=-8x，①
∵直线AB为y-3=-$\frac{1}{8}$（x-4），②，
由①②构成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{9}}\\{y=\frac{32}{9}}\end{array}\right.$，
∴D（$-\frac{4}{9}$，$\frac{32}{9}$）．
（2）∵tanγ=-2，
∴sinγ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosγ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2γ=2sinγcosγ=-$\frac{4}{5}$，cos2γ=2cos²γ-1=-$\frac{3}{5}$，
∴sin4γ=2sin2γcos2γ=$\frac{24}{25}$，cos4γ=2cos²2γ-1=-$\frac{7}{25}$，
∵a+β=2γ，
∴sin（3α+3β）=sin6γ=sin（4γ+2γ）=sin4γcos2γ+cos4γsin2γ=$\frac{24}{25}×（-\frac{3}{5}）$+（-$\frac{4}{5}$）×（-$\frac{7}{25}$）=-$\frac{44}{125}$．

点评 本题考查三角函数的和差公式，二倍角公式，以及三角函数值的计算，属于中档题．