Question

9．宜昌一中自驾游车队组织车友前往三峡大坝游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型的车组成的，行程中匀速通过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s）．设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持$\frac{1}{6}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}x$m的距离．已知自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求该车队通过隧道所用时间y的最小值及此时车队的速度．

Answer 1

分析 （1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（$\frac{1}{6}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}x$）m的距离，可得分段函数；
（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．

解答 解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；
当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（$\frac{1}{6}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}x$）m的距离，
∴当0＜x≤12时，y=$\frac{2725+5×31+20×（31-1）}{x}$=$\frac{3480}{x}$；
当12＜x≤25时，y=$\frac{2725+5×31+（\frac{1}{6}{x}^{2}+\frac{1}{3}x）×（31-1）}{x}$=5x+$\frac{2880}{x}$+10
∴y=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3480}{x}，0＜x≤12\\ 5x+\frac{2880}{x}+10，12＜x≤25\end{array}\right.$；
（2）当0＜x≤12时，y=$\frac{3480}{x}$，
∴x=12m/s时，y_min=290s；
当12＜x≤25时，y=5x+$\frac{2880}{x}$+10≥2$\sqrt{5x•\frac{2880}{x}}$+10=250s
当且仅当5x=$\frac{2880}{x}$，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y_min=250s
∵290＞250，∴x=24m/s时，y_min=250s．
答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．

点评 本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．