Question

18．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，有$\sqrt{3}$acosC-csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{13}$，S_△ABC=3$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得：$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=0，即可解得tanC=$\sqrt{3}$，从而求得C的值；
（Ⅱ）由面积公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=3$\sqrt{3}$，从而求得得b的值，由余弦定理即可求c的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=0． …（2分）
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，
从而$\sqrt{3}$cosC=sinC，又cosC≠0，…（4分）
所以tanC=$\sqrt{3}$，所以C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{13}×b×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$，得b=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，…（9分）
由余弦定理得：c²=$\sqrt{13}$²+（$\frac{12\sqrt{13}}{13}$）²-2×$\sqrt{13}$×$\frac{12\sqrt{13}}{13}$×cos$\frac{π}{3}$=$\frac{157}{13}$，
所以c=$\frac{\sqrt{2041}}{13}$．…（12分）

点评 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．