Question

19．已知数列{a_n}满足S_n=2n-a_n+1（n∈N^*），其中S_n表示数列{a_n}的前n项和．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件，可求a₁，a₂，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通项公式．
（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．

解答 解：（1）a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{7}{4}$，a₃=$\frac{15}{8}$，a₄=$\frac{31}{16}$，猜测 a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）①由（1）知当n=1时，命题成立；  ②假设n=k时，命题成立，即a_k=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$，
当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1+1-2k+a_k-1，
∴a_k+1=1+$\frac{1}{2}$a_k=1+$\frac{1}{2}$（2-$\frac{1}{{2}^{k}}$）=2-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N^*），a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$ 都成立．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法